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<article lang="de"><title>Bestimmung des stochastischen Zeitverhaltens in Supply Chains</title><articleinfo><authorblurb><para role="author">Dr.-Ing. Ingolf Meinhardt,<?d-linebreak?>M.Eng. Felisia Sunarjo,<?d-linebreak?>Prof. Dr.-Ing. habil. Hans-Georg Marquardt</para><para role="authorinfo">Institut für Fördertechnik, Baumaschinen und Logistik, Technische Universität Dresden</para></authorblurb><abstract lang="de"><para role="abstractDE">Stochastische Einflüsse wirken auf alle elementaren Prozesse einer Lieferkette. Sie äußern sich in variablen Fertigungs-, Transport- oder Durchlaufzeiten sowie Lagerbeständen zur Prozessentkopplung. Die Auswirkungen auf Liefertreue, Vorlaufzeiten, Bestände oder Kos­ten für die gesamte Supply Chain sind zurzeit nur simulativ abschätzbar. Das hier vorge­stellte numerische Verfahren kann mit geringem Aufwand ähnliche, statistisch abgesicherte Kennzahlen für das Zeitverhalten liefern. </para></abstract><abstract lang="en"><para role="abstractEN">Stochastic influence has significant impact on all elementary processes of a supply chain. This impact is reflected on variable production, transportation or lead time as well as the inventory of decoupling process. At present, the implication of delivery reliability, lead time, inventory or total cost for the whole supply chain can only be evaluated by using simulation. This work proposes a less time- and cost-consuming numerical approach to provide the re­liable statistical parameters for the time behaviour. </para></abstract><authorgroup><author><firstname>Ingolf</firstname><surname>Meinhardt</surname></author><author><firstname>Felisia</firstname><surname>Sunarjo</surname></author><author><firstname>Hans-Georg</firstname><surname>Marquardt</surname></author></authorgroup><biblioid class="uri">urn:nbn:de:0009-12-7036</biblioid><biblioid class="doi">10.2195/LJ-Not_Ref_d_Meinhardt_1120052</biblioid><keywordset><keyword>WGTL</keyword><keyword>Wissenschaftliche Gesellschaft für Technische Logistik</keyword><keyword>elogistics journal</keyword><keyword>Prof Michael ten Hompel</keyword><keyword>Universität Dortmund</keyword><keyword>Uni Dortmund</keyword><keyword>Logistik</keyword><keyword>Logistics</keyword><keyword>Materialfluss</keyword><keyword>Material flow</keyword><keyword>Universitaet Dortmund</keyword><keyword>Intralogistics</keyword><keyword>intra logistics</keyword><keyword>intra-logsitics</keyword><keyword>Intralogistik</keyword><keyword>technische Logistik</keyword><keyword>DOI 10.2195/LJ-Not_Ref_d_Meinhardt_1120052</keyword><keyword>ISSN 1860-5923</keyword></keywordset><subjectset scheme=""><subject></subject></subjectset><legalnotice><title>Lizenz</title><para>Jedermann darf dieses Werk unter den Bedingungen der Digital Peer Publishing Lizenz elektronisch übermitteln und zum Download bereitstellen. Der Lizenztext ist im Internet abrufbar unter der Adresse http://www.dipp.nrw.de/lizenzen/dppl/dppl/DPPL_v2_de_06-2004.html</para></legalnotice><titleabbrev></titleabbrev><volumenum>2005</volumenum><issuenum>November</issuenum><biblioset relation="journal"><issn>ISSN:1860-5923</issn><title>Logistics Journal : nicht-referierte Veröffentlichungen</title></biblioset></articleinfo><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">1.	</phrase>Einführung</title><para role="text">Sowohl in der Planungsphase als auch beim Betrieb von Supply Chains entsteht immer wieder die Frage nach zu erwartenden Leistungskennzahlen, richtiger Prozessauslegung und ausreichender Dimensionierung der Elemente. Gewachsene Komplexität und Intransparenz verschiedenster Einflüsse auf die Supply Chain führen jedoch zu einer zunehmenden Unsicherheit über den Prozessverlauf. </para><para role="text">Bewertungen zum Leistungsverhalten sind in Supply Chain Management (SCM)-Software-Systemen zwar über betriebswirtschaftliche und/oder technisch orientierte Kennzahlensysteme möglich, aber stets nachträglich auf Grund erfasster Prozessdaten (z. B. als Nachkalkulation). Auch das Supply Chain Operations Reference Model (<link linkend="SCOR">SCOR</link>) sieht nicht vor, Kennzahlen im prognostischen bzw. planerischen Sinne auf Grund der Lieferkettenstruktur, des Kundenverhaltens oder der aktu­ellen Auftragslage zu bestimmen. </para><para role="text">In [<link linkend="Erengüc99">Erengüc99</link>] wird als Ziel weiterer Forschungen u.a. die Analyse von Supply Chains hinsichtlich der Quantifizierung von Produktionskapazitäten, Durchlaufzeiten und Lagerbeständen (bei Berücksichtigung der Unsicherheit/Stochastik im zeitlichen Verlauf) formuliert. Gleichzeitig orientiert sich eine übergreifende Betrachtung auf drei Hauptabschnitte (Beschaffen, Herstellen, Liefern) . </para><para role="text">Obwohl viele Forschungsthemen die Vernetzung in der Supply Chain und die Integration von einzelnen Organisationen betreffen, stecken Erkenntnisse zur Prozessausrichtung und fortgeschrittenen Planung über Unternehmensgrenzen hinweg noch in den Kinderschuhen [<link linkend="Stadtler05">Stadtler05</link>], [<link linkend="Croom00">Croom00</link>]. So legt z. B. Raghavan ein analytisches Model auf der Basis eines offe­nen allgemeinen Bediennetzwerkes vor, um die mittlere Durchlaufzeit als eine kritische Leistungskennzahl in einer „make to order“- Supply Chain zu ermitteln [<link linkend="Raghavan01">Raghavan01</link>]. Da es aber keine exakte Lösung für die Berechnung eines allgemeinen Bediennetzwerkes gibt, wird eine Approximation vorgenommen.</para><para role="text">Die fehlenden Kenntnisse bzw. Lösungsmethoden haben dazu geführt, dass als gebräuchliches Werkzeug zur Bewertung komplexer, vernetzter Systeme einzig die Simulation angesehen wird. Darunter versteht man „das Nachbilden eines Systems mit seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierbaren Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertrag­bar sind. Insbesondere werden die Prozesse über die Zeit entwickelt“ [<link linkend="VDI3633">VDI 3633</link>].</para><para role="text">Der Anwendung simulativer Verfahren sind durch Rechentechnik und leistungsfähige Simula­toren nahezu keine Grenzen mehr gesetzt. Dennoch stellt sich die Entwicklung von Simulations­modellen für konkrete Anwendungen in aller Regel als aufwändiges, langwieriges und teures Ver­fahren heraus, das den Einsatz von Simulationsexperten erfordert. Da ein Simulationslauf meist von vielen Parametern beeinflusst wird, sind viele Simulationsläufe und umfangreiche Auswertun­gen notwendig. Gerade in frühen Planungsphasen aber sind viele Einflussgrößen noch nicht fixiert, so dass mittels Simulation nur bedingt funktionale Aussagen über den Einfluss einzelner Para­meter auf das Simulationsergebnis möglich sind. Außerdem ergeben sich häufig auch strukturelle Änderungen, die einen erheblichen Änderungsaufwand am Simulationsmodell nach sich ziehen.</para><para role="text">Auf dem Gebiet des Projektmanagements sind analytische Verfahren zur Planung, Steuerung und Kontrolle des Projektablaufes hinsichtlich der Termine, Kapazitäten und Kosten bekannt. Eine Übertragung des Vorgehens in diesen als Netzplantechnik bezeichneten Verfahren auf die Belange der Supply Chains erscheint sinnvoll auf Grund naheliegender Analogien. </para><para role="text">Nach [<link linkend="DIN69900">DIN 69900</link>] ist ein Netzplan „die graphische Darstellung von Ablaufstrukturen, die die logische und zeitliche Aufeinanderfolge von Vorgängen veranschaulichen“. </para><para role="text">Dabei werden folgende grundlegende Annahmen getroffen:</para><itemizedlist mark="disc" spacing="normal"><listitem><para role="text">Ein Projekt kann in einzelne Aktivitäten zerlegt werden.</para></listitem><listitem><para role="text">Jede Aktivität hat ein Start- und ein Endereignis.</para></listitem><listitem><para role="text">Die Zeitspanne jeder einzelnen Aktivität ist bekannt oder kann geschätzt werden.</para></listitem></itemizedlist><para role="text" /><para role="text">Die unterschiedlichen Netzplantechniken wie Critical Path Method (CPM), Program Evaluation and Review Technique (PERT) oder Graphical Evaluation and Review Technique (GERT) sind aber nur bedingt geeignet, die Problemstellungen von Supply Chains zu lösen. Entweder ist keine Abbildung bestimmter Prozessstrukturen (PERT: fehlende Abbildung für alternative und rekursive Vorgänge) oder keine vollständige analytische Lösung möglich (GERT) [<link linkend="Malcolm59">Malcolm59</link>], [<link linkend="Neumann75">Neumann75</link>].</para><para role="text">Des Weiteren führen die Annahmen, die diesen Verfahren zu Grunde liegen, zu systematischen Fehlern. Sie liefern zu optimistische Schätzungen der tatsächlichen Projektdauer bei zu geringer Genauigkeit. Die Ursachen liegen in der vereinfachten Ermittlung der Parameter für die Verteilungsfunktion der Zeitdauer auf Grund dreier Zeitschätzwerte:</para><itemizedlist mark="disc" spacing="normal"><listitem><para role="text">optimistische, pessimistische und häufigste Zeitdauer, </para></listitem><listitem><para role="text">der Fixierung allein auf eine beta-verteilte Aktivitätsdauer,</para></listitem></itemizedlist><para role="text">in der Annahme, dass das Netz nur einen einzigen dominanten „kritischen Pfad“ besitzt. Sobald es aber mehrere konkurrierende Pfade gibt, kann auf Grund der Stochastik jeder dieser Pfade die gesamte Projektdauer erheblich beeinflussen. Diese Option bleibt in PERT durch die Reduzierung der Betrachtung auf die Summe der Mittelwerte (und nach dem zentralen Grenzwertsatz der Annahme einer normalverteilten Gesamtdauer) unberücksich­tigt [<link linkend="Ioannou98">Ioannou98</link>].</para></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">2.	</phrase>Numerisches Verfahren zur Berechnung sto-chastischer Vorgänge </title><para role="text">Die Defizite in den Verfahren der Netzplantechnik und die Unzulänglichkeiten der Simulation waren Anlass zur Suche nach neuen Lösungsmöglichkeiten für die Ermittlung des Zeitverhaltens innerhalb von Netzwerken. Im Ergebnis entstand ein Modell, bei dem zunächst die Vorgehens­weise von PERT beibehalten wird: Die Vorgänge im Netzplan sind durch Anfangs- und End­ereignisse in der Weise verknüpft, dass stets alle vorgelagerten Vorgänge abgeschlossen sein müssen und alle nachfolgenden Vorgänge zeitsynchron beginnen (deterministische Prozessaus­führung). In einer zweistufigen Berechnung werden die frühesten und spätesten Starttermine für jedes Ereignis (Vorwärts- bzw. Rückwärtsrechnung) und daraus mögliche Puffer- oder Reserve­zeiten sowie der kritische Weg bestimmt. </para><para role="text">Das entwickelte numerische Verfahren liefert durch Diskretisierung der Zeitverteilungen aller Vorgangsdauern und deren operationsbezogenen statistischen Verknüpfungen Aussagen über das Netzwerk. Im Unterschied zu den traditionellen Netzplanverfahren erfolgt aber die Berechnung nicht mehr auf der Basis statistischer Momente (Mittelwert, Varianz), sondern durch Berechnung von Dichte- und/oder Verteilungsfunktionen, aus denen schließlich die gesuchten Momente er­mittelt werden. Genau wie die Vorgänge selbst in unterschiedlicher Weise voneinander abhängen können, müssen auch die Verknüpfungen der zugehörigen Funktionen entsprechend dieser Abhän­gigkeit (Operation) gebildet werden. </para><para role="text">Neben der verbesserten Genauigkeit der Ergebnisse bietet sich dabei gleichzeitig die Möglich­keit, auch andere als die in PERT ausschließlich benutzten Beta-Verteilungen für die Vorgangs­dauern zu Grunde zu legen.</para><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">2.1.	</phrase>Verfahren bei deterministischer Prozessstruktur</title><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">2.1.1.	</phrase>Vorgangssequenzen</title><para role="text">Sei die Dauer eines Vorgangs k eine Zufallsgröße T<subscript>k</subscript> mit der Verteilungsfunktion F<subscript>k</subscript>(x) und der Dichtefunktion f <subscript>k</subscript>(x). Dann gilt </para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="26.2mm" depth="5.03mm" fileref="dippArticle-1.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f1" />1)</para><para role="text">Für zwei nacheinander auszuführende (sequentielle) Vorgänge 1 und 2 (Abb. 1, links) ergibt sich demnach eine zufällige Gesamtdauer T<subscript>G</subscript> = T<subscript>1</subscript> + T<subscript>2</subscript> . Die Summe zweier unabhängiger und diskret verteilter Zufallsgrößen kann mittels diskreter Faltung ihrer Dichtefunktionen bestimmt werden:</para><para role="tabelle" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="19.37mm" fileref="dippArticle-2.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">1</phrase>: Deterministische Prozessstruktur: Sequentielle und parallele Vorgänge</para></caption></mediaobject></para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="63.75mm" depth="10.57mm" fileref="dippArticle-3.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f2" />2)</para><para role="text">Die Summationsgrenzen a und b begrenzen den möglichen Definitionsbereich und werden als Summe der unteren bzw. oberen Grenzwerte der Vorgangsdauern bestimmt.<footnote><para role="footnote text,Fußnote"> Stetige Verteilungsfunktionen sind oftmals nicht oder allenfalls einseitig begrenzt. Mit der Diskretisierung kann aber ein Genauigkeitsmaß in Form der Quantile eingeführt werden. So ist es im allgemeinen ausreichend, die untere und obere Grenze festzulegen mit P(X ≤ a) &lt; 0,0001 bzw. P(X ≤ b) &lt; 0,9999. Bei normalverteilten Zeitdauern mit dem Mittelwert μ und der Standardabweichung σ gilt dann näherungsweise a = μ- 4σ bzw. b = μ+ 4σ</para></footnote> </para><para role="text">Die Faltungsoperation ist kommutativ und assoziativ, durch wiederholte Anwendung der Fal­tung kann demnach für mehrere unabhängige, sequentielle Vorgänge die Gesamtzeitverteilung berechnet werden. </para></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">2.1.2.	</phrase>Zeitlich parallele Vorgänge</title><para role="text">Die Annahme von zwei oder mehreren parallelen (im Sinne von zeitgleich beginnenden) Akti­vitäten zufälliger Dauer (Abb. 1, rechts) erlaubt keine sichere Aussage, welche Aktivität im Ein­zelfall länger dauert und inwiefern dadurch der kritische Pfad (und damit die Gesamtdauer) beein­flusst wird. </para><para role="text">Mit dem Ende der Parallelität ist eine Synchronisation erforderlich, d.h. es muss bis zum Ab­schluss des letzten parallelen Vorgangs gewartet werden. Das muss jedoch nicht automatisch der Vorgang mit der größten mittleren Dauer sein, sondern kann auch ein im Mittel nicht kritischer, aber zeitlich stark variierender Vorgang sein.</para><para role="text">Für die Ermittlung der Gesamtzeitverteilung ist also jeweils das Maximum der zufälligen Zeit­dauern τ<subscript>1</subscript> , τ<subscript>2</subscript> , bis τ<subscript>k</subscript> zu bestimmen. </para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="31.75mm" depth="5.56mm" fileref="dippArticle-4.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f3" />3)</para><para role="text">Im statistischen Sinne ist dies gleichbedeutend mit dem Produkt der Verteilungsfunktionen aus den Vorgangsdauern.</para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="58.74mm" depth="10.32mm" fileref="dippArticle-5.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f4" />4)</para><para role="text">Das Ergebnis ist eine „Maximum“-Verteilung mit folgenden Eigenschaften:</para><itemizedlist mark="disc" spacing="normal"><listitem><para role="text">Untere und obere Grenze des Definitionsbereichs sind die jeweiligen Maxima der unteren bzw. oberen Grenzwerte der Vorgangsdauern.</para></listitem><listitem><para role="text">Der Mittelwert ist größer als jeder der zu Grunde liegenden Verteilungen.</para></listitem><listitem><para role="text">Die Varianz ist kleiner als die größte Varianz der Einzelvorgänge.</para></listitem></itemizedlist><para role="text">Eine Vergrößerung der mittleren Gesamtdauer bei parallel ablaufenden Vorgängen ergibt sich also unabhängig von Auslastung, Bedienstrategie o.Ä. bereits aus der Struktur des Netzplans und der Verteilung der Zeiten. Sie äußert sich in einer zusätzlichen, strukturbedingten Wartezeit am Ende eines jeden Vorgangs. Die Größe dieser strukturbedingten Wartezeit wird maßgeblich durch die Varianz der Vorgangsdauern bestimmt. Sie kann ermittelt werden aus der Differenz der mitt­leren Gesamtdauer und dem Maximum der mittleren Dauern der parallelen Vorgänge.</para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="61.37mm" depth="5.56mm" fileref="dippArticle-6.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f5" />5)</para><para role="text" /><para role="text">Praktisch bedeutet diese strukturbedingte Wartezeit oft eine Verlängerung der Lagerverweilzeit und damit eine Bestandserhöhung.</para><para role="text" /></section></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">2.2.	</phrase>Verfahren bei stochasticher Prozessstruktur</title><para role="text">Während das im vorigen Abschnitt vorgestellte Verfahren nur für deterministische Prozessaus­führung anwendbar ist, sind in der Praxis häufig auch stochastische Prozessausführungen anzu­treffen. So wird z. B. nach einer Qualitätskontrolle nur ein Teil der Erzeugnisse an den nach­folgenden Prozess übergeben, während fehlerhafte Produkte in einem anderen Prozess nachbe­arbeitet werden (Alternative) und erneut zur Qualitätskontrolle kommen (Rekursion). Es ergeben sich für einzelne Vorgänge unterschiedliche Ausführungswahrscheinlichkeiten und damit ein unterschiedlich gewichteter Einfluss der Vorgangsdauer auf die Gesamtdurchlaufzeit.</para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="19.37mm" fileref="dippArticle-7.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">2</phrase>: Stochastische Prozessstruktur: Alternative und rekursive Vorgänge</para></caption></mediaobject></para><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">2.2.1.	</phrase>Alternative Prozessausführung</title><para role="text">Alternative Prozessausführung bedeutet das Vorhandensein von zwei oder mehreren möglichen Fortsetzungen der Prozessdurchführung, von denen genau eine realisiert wird. Dabei ist die Kenntnis des Entscheidungskriteriums unbedeutend, es interessieren lediglich die Ausführwahr­scheinlichkeiten p<subscript>i</subscript> der möglichen Alternativen. </para><para role="text">Die Gesamtzeit kann als Summe der mit p<subscript>i</subscript> gewichteten Dichte der Vorgangsdauern berechnet werden:</para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="50.8mm" depth="10.32mm" fileref="dippArticle-8.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f6" />6)</para><para role="text">Die Berechnung der Summe ist wie bei den Vorgangssequenzen als diskrete Faltung vorzu­nehmen. Im Unterschied zu letzterer werden aber die <anchor id="OLE_LINK1" />prozentualen Häufigkeiten des Auftretens (Dichte) mit Hilfe der Ausführwahrscheinlichkeit gewichtet.</para><para role="text">Für den Definitionsbereich und die Momente einer solchen „Alternativ“-Verteilung können folgende generelle Aussagen abgeleitet werden:</para><itemizedlist mark="disc" spacing="normal"><listitem><para role="text">Untere und obere Grenze des Definitionsbereichs ergeben sich als Minimum der unteren bzw. Maximum der oberen Grenzwerte der Vorgangsdauern.</para></listitem><listitem><para role="text">Der Mittelwert liegt zwischen dem kleinsten und größten Mittelwert der zu Grunde liegen­den Verteilungen. </para></listitem><listitem><para role="text">Die Varianz wird umso größer, je weiter die mittleren Vorgangsdauern auseinander liegen. </para></listitem></itemizedlist></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">2.2.2.	</phrase>Rekursive Prozessausführung</title><para role="text">Rekursive Prozessausführung bedeutet das wiederholte Ausführen von Vorgängen auf Grund eines hier nicht näher spezifizierten Kriteriums (mehrphasige Bearbeitung, Reklamation o.Ä.). Von der Funktion her ähnelt es der im vorigen Abschnitt beschrieben Alternative. Nach dem Ende von Vorgang V<subscript>1</subscript> (hier als Kontrollprozess bezeichnet) gibt es wahlweise zwei mögliche Fortsetzungen: </para><itemizedlist mark="disc" spacing="normal"><listitem><para role="text">Mit der Wahrscheinlichkeit 0 &lt; p<subscript>rek</subscript> &lt; 1 wird als nächstes Vorgang V<subscript>2</subscript> (Nacharbeit) ausgeführt. </para></listitem><listitem><para role="text">Dementsprechend ist (1-p<subscript>rek</subscript>) die Wahrscheinlichkeit für die Fortsetzung mit Vorgang V<subscript>3</subscript></para></listitem></itemizedlist><para role="text">Im Unterschied zur alternativen Prozessausführung wird aber nach Abschluss von V<subscript>2</subscript> erneut V<subscript>1</subscript> (rekursiv) ausgeführt und der Entscheidungspunkt durchlaufen. Es kommt damit zur wiederholten, zyklischen Ausführung von Vorgängen und dadurch zu einer wesentlichen Erhöhung des Zeit­bedarfs. Die erwartete Anzahl der Aktivierungen eines Vorgangs heißt Aktivierungszahl. </para><para role="text">Dessen Größe wird in entscheidender Weise von der Reklamationsquote p<subscript>rek</subscript> (Wahrscheinlich­keit für Mängel, die eine Nacharbeit erfordern) bestimmt. Es ergeben sich damit die Aktivierungs­zahlen für die beiden Vorgänge zu</para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="37.56mm" depth="10.32mm" fileref="dippArticle-9.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f7" />7)</para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="42.32mm" depth="10.32mm" fileref="dippArticle-10.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f8" />8)</para><para role="text" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="98.75mm" fileref="dippArticle-11.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">3</phrase>: Entwicklung der Durchlaufzeitverteilung bei Rekursion</para></caption></mediaobject></para><para role="text" /><para role="text">Theoretisch werden unendlich viele Rekursionen zugelassen, ihr Anteil hat sich aber bei gängigen Reklamationsquoten p<subscript>rek</subscript>&lt; 20% bereits nach wenigen Durchläufen auf weniger als 0,1% reduziert und ist damit vernachlässigbar. Für die Berechnung bedeutet dies die Beschränkung auf eine konfigurierbare Genauigkeit, die im Allgemeinen nach 3 bis 5 Rekursionen erreicht wird.. Auch in der Praxis ist es üblich, nach einer begrenzten Anzahl von Rekursionsdurchläufen jegliche Nacharbeit aus Qualitäts- oder Kostengründen einzustellen.</para><para role="text">Die Berechnung der Zeitverteilung erfolgt aus einer Kombination der bereits vorgestellten Be­rechnungen für alternative und sequentielle Vorgänge.</para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="70.38mm" depth="10.32mm" fileref="dippArticle-12.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f9" />9)</para><para role="text" /><para role="text">Definitionsbereich und Momente der Verteilungsfunktion für Rekursionen lassen folgende verallgemeinerbare Aussagen zu:</para><itemizedlist mark="disc" spacing="normal"><listitem><para role="text">Untere Grenze des Definitionsbereichs ist der untere Grenzwert des Kontrollprozesses.</para></listitem><listitem><para role="text">Die obere Grenze hängt ab von den oberen Grenzwerten von Kontroll- und Nachbearbeitungsprozess und der Anzahl der Rekursionen. Die wiederum wird durch die Reklamationsquote bestimmt.</para></listitem><listitem><para role="text">Der Mittelwert ergibt sich zu<?d-linebreak?><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="51.58mm" depth="5.8mm" fileref="dippArticle-13.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f10" />10)</para></listitem><listitem><para role="text">Auf Grund des großen Definitionsbereichs sind die Abweichungen vom Mittelwert und da­mit die Varianz recht groß. Die Varianz wird maßgeblich von der Anzahl der Rekursionen, also der Reklamationsquote bestimmt und kann nur aus der resultierenden Verteilungs­funktion ermittelt werden.</para></listitem></itemizedlist><para role="text" /></section></section></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">3.	</phrase>Berechnungswerkzeug</title><para role="text">Die vorgestellten Berechnungsverfahren wurden in einem Anwendungsprogramm (Abb. 4 und 5) implementiert. Es ermöglicht </para><itemizedlist mark="disc" spacing="normal"><listitem><para role="text">das Erstellen einer beliebigen Prozessstruktur,</para></listitem><listitem><para role="text">die Parametrierung der Einzelvorgänge auf Grund einer Reihe implementierter statistischer Verteilungen </para></listitem><listitem><para role="text">die Berechnung der Zeitverteilungen für alle Start- und Endereignisse,</para></listitem><listitem><para role="text">die Visualisierung der Ergebnisse: Histogramm der Zeitverteilungen, Wahrscheinlichkeiten für Termineinhaltung, strukturbedingte Wartezeiten, Zeitdauern als Gantt-Diagramm,</para></listitem><listitem><para role="text">Übergabe der Berechnungsergebnisse an andere Programme.</para></listitem></itemizedlist><para role="text" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.5mm" depth="243.68mm" fileref="dippArticle-14.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">4</phrase>: Screenshot der Nutzeroberfläche (oben) und Dialog zur Definition Vorgangsdauern (unten)</para></caption></mediaobject></para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.5mm" depth="155.58mm" fileref="dippArticle-15.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="Beschriftung Zchn"><phrase role="GEN_SEQ">5</phrase></phrase>: Screenshot Berechnungsergebnisse:<?d-linebreak?>Oben - Verteilung Gesamt-Durchlaufzeit und Termineinhaltung (verspätete Lieferung bei t &gt; 30),<?d-linebreak?>Unten - Gantt-Diagramm</para></caption></mediaobject></para><para role="text" /></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">4.	</phrase>Anwendungsbeispiel</title><para role="text">Für ein Zuliefernetzwerk in der Automobilindustrie wurde das Durchlaufzeitverhalten unter­sucht. Die Struktur des Netzwerkes ist vereinfacht in Abbildung 6 dargestellt.</para><para role="text">Die internen Abläufe bei den einzelnen Zulieferer wurden jeweils zusammengefasst zu einem Vorgang. Für die Vorgangsdauern wurden Zeitbedarfe ausgewertet und in Form von Zeitschätz­werten für minimale, maximale und häufigste Dauer (analog zu PERT) ermittelt. Darin einge­flossen sind neben den reinen Bearbeitungszeiten auch Zeiten für Warenein- und -ausgang, Trans­port, Zwischenlagerung u.ä., also die vollständige Durchlaufzeit jedes Lieferanten. </para><para role="text">Das Berechnungsmodell wurde um virtuelle Prozesse erweitert, um die Beauf-tragungszeit­punkte der Zulieferer abzubilden. Sie bewirken einen verzögerten Start des realen Vorgangs. Die Dauern der virtuellen Vorgänge werden zunächst so bemessen, dass dadurch im Mittel alle paral­lelen Vorgänge zeitgleich enden, der anschließende Montageprozess also (im Mittel) ohne Ver­zögerung beginnen kann. </para><para role="text">Für die gesamte Supply Chain konnte mit dem vorgestellten numerischen Berechnungsver­fahren die Durchlaufzeit unter Berücksichtigung der stochastischen Einflüsse auf die einzelnen Prozesse statistisch ermittelt werden. Der Vergleich mit anderen Verfahren ist in Abbildung 8 dargestellt. </para><para role="text" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="70.81mm" fileref="dippArticle-16.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">6</phrase>: Struktur des Zulieferernetzwerks (hellblau) und Erweiterung um virtuelle Prozesse (dunkelblau)</para></caption></mediaobject></para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="126.69mm" fileref="dippArticle-17.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">7</phrase>: Screenshot: Modell des Zulieferernetzwerks (rot: kritischer Pfad)</para></caption></mediaobject></para><para role="text">Die Ergebnisse des numerischen Verfahrens decken sich dabei mit den durch Simulation er­zielten, was als Nachweis für die Richtigkeit des Verfahrens angesehen werden kann. Im Ver­gleich dazu sind die mit PERT ermittelten Ergebnisse (mittlere Durchlaufzeit zu niedrig bei gleichzeitig zu großer Varianz) zu ungenau und bestätigen damit die oben dargelegten Schwächen der traditionellen Netzplantechnik.</para><para role="text">Weiterhin besteht ein funktionaler Zusammenhang zwischen Durchlaufzeit und Liefertreue. Zur Veranschaulichung wird dabei die Wahrscheinlichkeit für die Überschreitung einer bestimmten Durchlaufzeit als Risiko für eine verspätete Lieferung aufgefasst (Abb. 9). Somit kann bei Vor­gabe eines zulässigen Risikos die erforderliche Zeit vom Auftragsbeginn bis zur Lieferung (Liefertermin) bestimmt werden.</para><para role="text" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="97.48mm" fileref="dippArticle-18.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">8</phrase>: Vergleich der Ergebnisse zur Bestimmung der Durchlaufzeitverteilung</para></caption></mediaobject></para><para role="text" /><para role="text">Durch Veränderung des Beauftragungszeitpunktes für einzelne Lieferanten lässt sich der Liefertermin verschieben. Eine frühere Beauftragung führt im Allgemeinen zur Verkürzung der Durchlaufzeit bei verändertem kritischen Weg im Netzplan. Dieser Zusammenhang ist an sich nicht neu, mit dem vorgestellten Verfahren kann die Auswirkung aber quantifiziert werden. Dabei kann bei jeweils gleichem „Aufwand“ (frühere Beauftragung um x Zeiteinheiten für Prozess j) eine Verkürzung der Durchlaufzeit Δt<subscript>DLZ, j</subscript> = f(x, j) sowie eine Veränderung der mittleren, struktur­bedingten Wartezeiten ΣE(t<subscript>WS, j</subscript>) ermittelt werden. Für einen Variantenvergleich besteht damit eine Bewertungsmöglichkeit, inwiefern die verkürzte Durchlaufzeit möglicherweise durch höhere Lagerbestände erkauft wird. Unabhängig davon bleibt wegen der Schwankungen der Vorgangs­dauern selbst ein gewisser Bestand zur Prozessentkopplung erforderlich.</para><para role="text" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="98.43mm" fileref="dippArticle-19.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">9</phrase>: Auswirkung unterschiedlicher Beauftragungszeitpunkte auf die Liefertreue (dargestellt als Risiko für Terminüberschreitung)</para></caption></mediaobject></para></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">5.	</phrase>Zusammenfassung und Ausblick </title><para role="text">Mit dem vorgestellten numerischen Verfahren kann das Zeitverhalten in Supply Chains statistisch bestimmt und ausgewertet werden. Es liefert zur ereignisdiskreten Simulation gleichwertige Er­gebnisse. Durch Änderung der Parameter der Vorgangsdauern lassen sich Auswirkungen auf die Gesamtdauer schnell und ohne spezielle Programmierkenntnisse (Simulationsexperte) ermitteln. Die berechnete strukturbedingte Wartezeit ist ein erstes Maß für mögliche Lagerbestände, die durch die Prozessverkettung entstehen. </para><para role="text">Im Weiteren soll die Betrachtung zu Beständen entlang der Supply Chain vertieft werden. Die bei den vorgestellten Prozessverkettungen im Allgemeinen zunehmende Unsicherheit (Varianz) kann durch geeignete Entkopplungselemente (Lager, Puffer) wieder reduziert werden. Diese Elemente haben aber ein grundsätzlich anderes Verhalten als die bisher betrachteten Vorgänge: Ihr Zeit­verhalten ist nicht vorgegeben, sondern resultiert aus den Schwankungen im vorgelagerten zeit­lichen Ablauf und wirkt über den Pufferfüllgrad als dynamische Größe. Auch hier stellt sich die Frage nach der richtigen Dimensionierung, aber auch nach der richtigen Prozessintegration (Standort) derartiger Puffer. </para><para role="text" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="66.98mm" fileref="dippArticle-20.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">10</phrase>: Puffer in einer Montagelinie zur Prozessentkopplung</para></caption></mediaobject></para><para role="text">Abbildung 10 zeigt beispielhaft das Prinzip eines Entkopplungspuffers am Beispiel der Fahr­zeugindustrie. Prozess A stellt dabei die Lackierung und Prozess B die Montagelinie dar. Beide Prozesse können selbst wieder aus einzelnen Unterprozessen bestehen. Ein getakteter Ankunfts­strom wird durch Prozess A auf Grund nicht konstanter Durchlaufzeiten in einen ungetakteten Strom transformiert. Für Prozess B ist aber erneut ein getakteter Strom erforderlich. Mit Hilfe eines Puffers gelingt es, die zeitlichen Schwankungen wieder auszugleichen, wobei die erforderliche Größe des Puffers ausschließlich von der berechneten Durchlaufzeitverteilung des vorgelagerten Prozesses abhängt.</para><para role="text">Aus den statistischen Kenngrößen der Puffer-Belegung ist dann ein Rückschluss auf die Ver­teilung der Pufferaufenthaltszeit (Wartezeit) möglich, die nun wieder in die Durchlaufzeitbetrach­tung zurückfließt und damit das Zeitverhalten sowie die daraus abgeleiteten Kenngrößen wie Mittelwert und Varianz für die Gesamtdauer sowie die Einhaltung des Liefertermins beeinflusst.</para><para role="text" /><para role="heading">Literatur</para><informaltable frame="none"><tgroup cols="2"><colspec colname="col1" colwidth="120.4pt" colnum="1" /><colspec colname="col2" colwidth="349.1pt" colnum="2" /><tbody><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Croom00" />Croom00]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Croom, S., Romano, P., Giannakis, M.: Supply Chain Management: An analyti­cal Framework for critical literature review. In: European Journal of Pur-chasing and Supply Management, 6 (2000) 1, S. 67 - 83</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="DIN69900" />DIN 69900]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">DIN 69900-1: Projektwirtschaft; Netzplantechnik; Begriffe. Ausgabe: 1987-08</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Erengüc99" />Erengüc99]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Erengüç, S.S., Simpson, N.C., Vakharia, A.J.: Integrated produc­tion/distribution planning in supply chains: An invited review. In: European Journal of Operational Research, 115 (1999), S. 219 – 236</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Ioannou98" />Ioannou98]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Ioannou, P.G. und Martinez, J.C.: Project Scheduling using state-based proba-listic decision networks. Proceedings of the 1998 Winter Simulation Confer­ence, S. 1287-1295, Washington D.C., Dec. 13.-16. 1998</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Malcolm59" />Malcolm59]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Malcolm, D.G, Roseboom, J.H, Clark, C.E., Fazar, W.: Applications of a Technique for Research and Development Program Evaluation. In: Operations Research 7 (1959), S. 646-669</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Neumann75" />Neumann75]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Neumann, K.: Operations-Research-Verfahren, Band III: Graphentheorie, Netzplantechnik. München: Hanser, 1975</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Raghavan01" />Raghavan01]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Raghavan, N.R.S., Viswanadham, N.: Generalized Queueing Network Analysis of Integrated Supply Chains. In: International Journal of Production Research, 39 (2001) 2, S. 205 – 224</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="SCOR" />SCOR]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Supply-Chain Operations Reference Model. Overview of SCOR-Version 6.1 <ulink url="https://acc.dau.mil/simplify/ev.php?ID=74835_201&amp;ID2=DO_TOPIC"><phrase role="Hyperlink">https://acc.dau.mil/simplify/ev.php?ID=74835_201&amp;ID2=DO_TOPIC</phrase></ulink> <?d-linebreak?>(Datum des letzten Zugriffs: 08.11.2005)</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Stadtler05" />Stadtler05]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Stadtler, H.: Supply chain management and advanced planning – basics, over-view and challenges. In: European Journal of Operational Research, 163 (2005) 3, S. 575 – 588</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="VDI3633" />VDI 3633]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">VDI-Richtlinie VDI 3633: Simulation von Logistik-, Materialfluss und Produktionssystemen, Blatt 1 Grundlagen, Dez. 2001</para></entry></row></tbody></tgroup></informaltable><para role="text" /></section></article>