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<article lang="de"><title>Verwendung kinematischer Ketten bei der Generierung von Finite-Elemente-Modellen</title><articleinfo><authorblurb><para role="author">Dr.-Ing. Martin Webhofer</para><para role="authorinfo">Technische Universität München, Lehrstuhl für Fördertechnik Materialfluss Logistik </para></authorblurb><abstract lang="de"><para role="abstractDE">Vorliegende Arbeit stellt eine am Lehrstuhl für Fördertechnik Materialfluss Logistik der Technischen Universität München entwickelte Modellierungsmethode vor, die eine Abbildung von Finite-Elemente-Modellen als kinematische Strukturen ermöglicht. Dabei besteht das Gesamt­modell aus einer Reihe einzelner FE-Teilmodelle, die durch Gelenke miteinander verbunden sind. Durch das Verändern weniger Parameter kann die räumliche Anordnung der Teilmodelle zuein­ander verändert werden. Somit lassen sich die unterschiedlichen Betriebszustände der realen Maschine durch ein einziges Modell abbilden, wodurch der Aufwand für die Modellierung, Berech­nung und Auswertung derartiger Systeme erheblich reduziert werden kann.</para></abstract><abstract lang="en"><para role="abstractEN">This article describes a modelling method which was developed at the Institute of  Material Handling, Material Flow, Logistics at the Technical University of Munich. This method allows for the representation of finite element models in the form of kinematic structures. The complete model consists of a series of single FE sub-models which are connected by links. By changing just a few parameters the spatial arrangement of these sub-models can be altered and the different operating states of real machines can be represented by a single model. Thanks to this the expense for modelling, calculating and evaluating such systems can be reduced considerably.</para></abstract><authorgroup><author><firstname>Martin</firstname><surname>Webhofer</surname></author></authorgroup><biblioid class="uri">urn:nbn:de:0009-12-7071</biblioid><biblioid class="doi">10.2195/LJ_Not_Ref_d_Webhofer_0120051</biblioid><keywordset><keyword>finite Elemente Modellierung</keyword><keyword>finite Elemente Berechnung</keyword><keyword>FEM</keyword><keyword>Modellierungsmethode</keyword><keyword>kinematische Struktur</keyword><keyword>kinematische Ketten</keyword><keyword>Montage</keyword><keyword>Fahrzeugkranberechnung</keyword><keyword>Gittermastkranberechnung</keyword><keyword>VisualNODYA</keyword><keyword>NODYA</keyword><keyword>Martin Webhofer</keyword><keyword>Technische Universität München</keyword><keyword>FML</keyword><keyword>WGTL</keyword><keyword>Wissenschaftliche Gesellschaft für Technische Logistik</keyword><keyword>elogistics journal</keyword><keyword>Prof Michael ten Hompel</keyword><keyword>Universität Dortmund</keyword><keyword>Uni Dortmund, Logistik</keyword><keyword>Logistics</keyword><keyword>Materialfluss</keyword><keyword>Material flow</keyword><keyword>Universitaet Dortmund</keyword><keyword>Intralogistics</keyword><keyword>intra logistics</keyword><keyword>intra-logsitics</keyword><keyword>Intralogistik</keyword><keyword>technische Logistik</keyword><keyword>DOI 10.2195/LJ_Not_Ref_d_Webhofer_0120051</keyword><keyword>ISSN 1860-5923</keyword></keywordset><subjectset scheme=""><subject></subject></subjectset><legalnotice><title>Lizenz</title><para>Jedermann darf dieses Werk unter den Bedingungen der Digital Peer Publishing Lizenz elektronisch übermitteln und zum Download bereitstellen. Der Lizenztext ist im Internet abrufbar unter der Adresse http://www.dipp.nrw.de/lizenzen/dppl/dppl/DPPL_v2_de_06-2004.html</para></legalnotice><titleabbrev></titleabbrev><volumenum>2005</volumenum><issuenum>Januar</issuenum><biblioset relation="journal"><issn>ISSN:1860-5923</issn><title>Logistics Journal : nicht-referierte Veröffentlichungen</title></biblioset></articleinfo><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">1.	</phrase><anchor id="_Ref87849701" /><anchor id="_Ref87849866" /><anchor id="_Ref87925858" />Problemstellung und Zielsetzung</title><para role="text">Die Modellierung, Berechnung und Auswertung von Finite-Elemente-Strukturen, die je nach Betriebszustand unterschiedliche räumliche Ausprägungen haben, ist mit den konventionellen Modellierungsmethoden mit einem hohen Zeit- und Kostenaufwand verbunden. Am Beispiel der Gittermast-Fahrzeugkranberechnung lässt sich dieser Sachverhalt sehr gut zeigen.</para><para role="text">Fahrzeugkrane mit Gittermastauslegern werden für einen breiten Bereich bezüglich Hubhöhe, Ausladung und Hublast eingesetzt. Lange Haupt- und Hilfsausleger erlauben Hubaufgaben über hohe Bauwerke hinweg. Die größten Lastmomente erreicht ein Fahrzeugkran mit kurzem Haupt­ausleger, Abspannmast und einem großen Superlift-Gegengewicht (vgl. Abb. 1). Um diesen, von der jeweiligen Hubaufgabe abhängigen, unterschiedlichen Anforderungen Rechnung zu tragen, ist ein derartiger Kran nach dem Baukastenprinzip konzipiert.</para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="119.69mm" fileref="dippArticle-1.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">1</phrase>: Hubaufgaben mit unterschiedlichen Anforderungen</para></caption></mediaobject> </para><para role="text">Dieses besteht, neben Ober- und Unterwagen, aus einer begrenzten Zahl von Gittermastbauteilen für das Auslegersystem. Entsprechend der Variationsmöglichkeiten der einzelnen Auslegertypen lässt sich daraus eine Vielzahl unterschiedlicher Ausrüstungsvarianten zusammen­stellen. Abbildung 2 zeigt drei Beispiele von durchschnittlich vierzig Kombinationsmöglichkeiten eines Geräts [<link linkend="Döm95">Dömök95</link>].</para><para role="text">Jede Ausrüstungsvariante kann zudem in verschiedenen Auslegerlängen (Rüstzustände) aufge­baut werden. Allein durch die unterschiedlichen Längen können sich für eine Ausrüstungsvariante bereits bis zu siebzig verschiedene Rüstzustände ergeben. Nicht jede Ausrüstungsvariante kann in so vielen verschiedenen Kombinationen aufgebaut werden, jedoch ergeben sich für einen Gitter­mast-Fahrzeugkran oft bis zu fünfhundert verschiedene Rüstzustände.</para><para role="text">Entsprechend der Hubaufgabe und den äußeren Gegebenheiten stellt der Kranbetreiber das Auslegersystem zusammen. Als wichtigstes Hilfsmittel für die richtige Auswahl des Rüstzu­standes stehen die Traglasttabellen zur Verfügung.</para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="188.29mm" fileref="dippArticle-2.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">2</phrase>: Ausrüstungsvarianten eines Gittermast-Fahrzeugkrans</para></caption></mediaobject></para><para role="text">Eine Traglasttabelle enthält in tabellarischer Form eine Traglastkurve, die für jeden Rüstzustand (Ausrüstungsvariante in einer bestimmten Ausbaulänge) die maximale Hublast in Abhängigkeit der Auslegerstellung (Ausladung) beschreibt. Die Erstellung der Traglastkurven gehört neben der Optimierung der maximalen Tragfähigkeit zu den Hauptaufgaben bei der Berechnung eines Fahr­zeugkrans. Dabei ist heute der Einsatz der Finite-Elemente-Methode (FEM) Stand der Technik. Sie ermöglicht, bei der Konzipierung dieser Geräte eine optimale Lösung für das Verhältnis von Traglast zum Eigengewicht zu finden.</para><para role="text">Auch wenn in der Praxis nicht jede denkbare Stellung des Systems berechnet wird, ist für jeden Rüstzustand eine Mindestanzahl an Traglastpunkten zu ermitteln. Ein einzelner Traglastpunkt gibt für eine definierte Auslegerstellung die maximale Hublast an, für die alle geforderten Nachweise nach den gültigen Normen erfüllt sind. Alle Nachweise sind für eine Reihe verschiedener Lastfälle zu führen. Diese erfassen spezielle Beanspruchungen, besondere Betriebsweisen sowie äußere Gegebenheiten während des Einsatzes von Fahrzeugkranen. Zusätzlich sind bei der Bestimmung von Traglastpunkten noch weitere Parameter zu berücksichtigen. Dies sind zum Beispiel der maximal zulässige Bodendruck des Raupenfahrwerks oder die maximal übertragbare Kraft der Rollendrehverbindung.</para><para role="text">Die Anzahl der durchzuführenden Berechnungen ergibt sich aus der Vielfalt möglicher Rüstzu­stände, der verschiedenen Auslegerstellungen, der notwendigen Traglastpunkte einer Traglast­kurve und schließlich aus der Nachrechnung aller Lastfälle nach Norm. Mehrere Hunderttausend Rechenläufe sind deshalb bei Fahrzeugkranen keine Seltenheit. Da Gittermast-Fahrzeugkrane nur in kleinen Stückzahlen und häufig nach speziellen Kundenwünschen gefertigt werden, verursachen die Konstruktion und die Berechnung bei der Auftragsabwicklung einen hohen Zeit- und Kosten­aufwand.</para><para role="text">Da der prinzipielle Ablauf einer FE-Berechnung für jeden Rüstzustand, Stellung und Lastfall identisch ist, also algorithmischen Charakter hat, bietet sich aufgrund der großen Anzahl der not­wendigen Berechnungen eine Automatisierung der Abläufe an. Dabei kommt es in besonderem Maße auf eine automatisierbare Modellgenerierung an.<?d-linebreak?>Der hier vorgestellten Modellierungsmethode liegt die Abbildung von Finite-Elemente-Modellen als kinematische Strukturen zugrunde. Dabei wird das Gesamtmodell aus einer Reihe einzelner FE-Teilmodelle aufgebaut, die durch Gelenke miteinander verbunden sind. Diese Gelenkver­bindungen lassen sich in Form kinematischer Bindungen mathematisch formulieren und schränken somit die Bewegungsmöglichkeit der einzelnen Glieder zueinander ein. Das Gesamtmodell wird demzufolge durch eine kinematische Kette beschrieben, in der sich die räumliche Anordnung der FE-Teilmodelle zueinander, eingeschränkt durch einen Satz von kinematischen Bindungen, in Position und Orientierung verändern kann. Die unterschiedlichen Stellungen des Systems können mit Hilfe eines einzigen Modells durch das Verändern weniger Parameter sehr einfach und zuver­lässig erzeugt werden. Diese Eigenschaft ist für die Automatisierung der Berechnung derartiger Systeme von außerordentlicher Bedeutung.</para><para role="text">Aufbauend auf den hier beschriebenen theoretischen Grundlagen wurde das Programmsystem VisualNODYA (vgl. [<link linkend="Gün04">Günthner04</link>]) entwickelt, das eine von der Modellierung bis hin zur Aus­wertung durchgängige Berechnung von Finite-Elemente-Modellen mit veränderlicher räumlicher Ausprägung ermöglicht. Bei der Anwendung von VisualNODYA in verschiedenen Berechnungs­projekte konnte gezeigt werden, dass mit der  hier vorgestellten Modellierungsmethode die Effek­tivität des Berechnungsverfahrens gesteigert und damit verbunden die Entwicklungszeit verkürzt werden kann.</para></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">2.	</phrase>Kinematische Ketten</title><para role="text">Maschinen bestehen in der Regel aus einer Reihe einzelner Teilkörper (Baugruppen, Bauteile), die durch Lagerungen, Führungen, Verbolzung etc. so miteinander gekoppelt sind, dass die zur Erfüllung der Funktion der Maschine in Verbindung stehenden Bewegungen und Kraftübertragun­gen bestmöglich erreicht werden. Um diese Wechselwirkungen zu beschreiben, bedient man sich sog. Mehrkörpersysteme (MKS), die sich auch zur Beschreibung großer Verschiebungen eignen, was der normalen Betriebsweise solcher Maschinen entspricht.</para><para role="text">Während man mit Hilfe von Mehrkörpersystemen die Bewegungsgrößen (Geschwindigkeiten, Beschleunigungen) der Einzelkörper, die Zwangskräfte und Momente in den Bindungsstellen untersucht [<link linkend="Gar94">Garcia94</link>, <link linkend="Sha94">Shabana94</link>, <link linkend="Sha98">Shabana98</link>], beschränkt man sich bei kinematischen Ketten auf rein kinematische Betrachtungen. Es werden lediglich die Bewegungen des mechanischen Systems betrachtet, ohne nach den Ursachen zu fragen.</para><para role="text">Eine kinematische Kette besteht aus einer endlichen Anzahl von Gliedern, die durch Gelenke miteinander verbunden sind. Ein Gelenk lässt Bewegungen in bestimmten Freiheitsgraden oder Relativbewegungen zwischen einzelnen Gliedern zu oder schränkt sie ein. Kinematische Ketten können als offene oder geschlossene Strukturen ausgeprägt sein (vgl. Abb. 3).</para><para /><para role="Bild"><mediaobject><imageobject><imagedata width="127.25mm" depth="53.7mm" fileref="dippArticle-3.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">3</phrase>: Unterscheidung kinematischer Ketten</para></caption></mediaobject></para></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">3.	</phrase><phrase role="heading3 Zchn">Modellbildung</phrase></title><para role="text">Mit der im folgenden Kapitel vorgestellten Modellierungsmethode können Finite-Elemente-Modelle als kinematische Strukturen abgebildet werden. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, auf einfache Weise durch das Ändern weniger Parameter in kurzer Zeit unterschiedliche räumliche Konfigurationen des Modells zu erzeugen, um somit die verschiedenen Betriebszustände einer Maschine effizient nachzubilden.</para><para role="text">Dieses Konzept ist in Hinblick auf eine Automatisierung der Finite-Elemente-Berechnung solcher Systeme sehr gut geeignet. Dabei sind im Unterschied zu dem in [<link linkend="Schr00">Schröder00</link>] beschriebe­nen Verfahren zur Systemmontage sowohl offene als auch geschlossene kinematische Ketten modellierbar. Außerdem kann das Modell in Form einer Baumstruktur beliebig tief geschachtelt aufgebaut werden.</para><para role="text">Durch die Übertragung der Bewegungsmöglichkeiten von Gelenken der realen Maschine in das Finite-Elemente-Modell ist eine wirklichkeitsnahe Abbildung möglich.</para><para role="text" /><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">3.1.	</phrase>Das 2-Ebenen-Modell</title><para role="text">Die Abbildung von Finite-Elemente-Modellen als kinematische Strukturen lässt sich anhand eines 2-Ebenen-Modells anschaulich erklären (vgl. Abb. 4). Ausgehend von einer realen Maschine wird diese in der ersten Modellebene als Starrkörperkette betrachtet. Anschließend geht man in der zweiten Ebene auf ein Finite-Elemente-Modell über.</para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="75.57mm" fileref="dippArticle-4.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">4</phrase>: 2-Ebenen-Modell</para></caption></mediaobject></para><para role="text">Im ersten Schritt der Modellierung wird das reale System in Baugruppen und Bauteile (Sub­strukturen) zerlegt. Diese stellen im Starrkörpermodell die beweglichen Glieder einer Starrkörper­kette dar. Wie in [<link linkend="Web04">Webhofer04</link>] gezeigt wird, trägt die Unterteilung des Gesamtsystems in Teil­systeme nicht nur zur Übersichtlichkeit des Modells bei, sondern reduziert in erheblichem Maße den Rechenaufwand bei der Lösung des Montageproblems.</para><para role="text">Unter rein kinematischer Betrachtung werden die Teilkörper gemäß den realen Lagerungen, Führungen, Verbolzungen etc. durch geeignete Bindungselemente (Scharniergelenk, Linear­führung, Schiebehülse, etc.) an ihren Gelenkanschlüssen im Modell miteinander verbunden. Man erhält somit einen Mechanismus mit den Bewegungsmöglichkeiten der realen Maschine (vgl. Abb. 5).</para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="62.55mm" fileref="dippArticle-5.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">5</phrase>: Montage des Starrkörpermodells</para></caption></mediaobject></para><para role="text">In dieser Phase der Modellierung ist zur Beschreibung der einzelnen Teilkörper lediglich die räumliche Anordnung der Gelenkanschlüsse von Bedeutung. Durch Lösen des Montageproblems kann jede gewünschte Stellung der Gesamtstruktur in Abhängigkeit der Bindungsparameter (Winkel, Abstände) erzeugt werden und man erhält die Position und Orientierung jedes einzelnen Bauteils.</para><para role="text">Wie in Abbildung 6 dargestellt, wird beim Übergang von der Starrkörper- in die FE-Modell-Ebene jedes Bauteil durch ein entsprechendes Finite-Elemente-Modell ersetzt. Die räumliche An­ordnung der FE-Teilmodelle zueinander ist durch die Position und Orientierung der Bauteile gege­ben.</para><para role="text">Um aus den einzelnen FE-Teilmodellen ein Gesamtmodell zu erhalten, müssen die Teilmodelle mechanisch miteinander verknüpft werden. Die kinematischen Bindungen des Starrkörpermodells werden in Koppelbedingungen der Knotenverschiebungen umgewandelt, sodass die Beweglichkeit auch in der FE-Struktur erhalten bleibt. Dies ist nur möglich, wenn in den Verbindungsstellen entsprechende Knoten zur Verfügung stehen. Als Voraussetzung dafür sind spezielle Anschluss­definitionen in den Bauteil-Modellen vorzunehmen. Definiert man schließlich noch Lasten und Randbedingungen, so kann am Gesamtmodell eine FE-Berechnung durchgeführt werden.</para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="110.6mm" depth="55.02mm" fileref="dippArticle-6.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">6</phrase>: : Übergang Starrkörpermodell – FE-Modell</para></caption></mediaobject></para></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">3.2.	</phrase><anchor id="_Ref92614161" />Anschlüsse</title><para role="text">Als Anschluss <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="7.41mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-7.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> eines Körpers <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.82mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-8.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> wird hier die Verbindung von <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="4.23mm" fileref="dippArticle-9.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> Anschlusspunkten <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="26.99mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-10.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> bezeichnet. Ein Anschlusspunkt kann dabei ein beliebiger Körperpunkt sein, der durch seinen Ortsvektor <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="7.41mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-11.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> im Bauteilkoordinatensystem <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.29mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-12.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> angegeben wird (vgl. Abb. 7).</para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="115.58mm" fileref="dippArticle-13.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">7</phrase>: Anschlussdefinition</para></caption></mediaobject></para><para role="text">Die im Folgenden benötigten Anschlüsse beschränken sich auf 1-Punkt-, 2-Punkt- und 3-Punkt-Anschlüsse. Während ein 3-Punkt-Anschluss eine Ebene aufspannt, kann der 2-Punkt-Anschluss geometrisch als Gerade gedeutet werden. Der 1-Punkt-Anschluss stellt lediglich einen Raumpunkt dar.</para><para /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="49.85mm" fileref="dippArticle-14.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">8</phrase>: Anschlusstypen</para></caption></mediaobject></para><para role="text">Bei der Strukturmontage ist lediglich die Position und Orientierung der Bauteilanschlüsse von Bedeutung. Werden zwei Bauteile durch ein Bindungselement miteinander verbunden, so wird eine bestimmte räumliche Anordnung der beteiligten Anschlüsse durch die Bindungsgleichungen erzwungen.</para><para role="text">Möchte man beispielsweise zwei Bauteile in Form eines Kugelgelenks (vgl. Abb. 9) mitein­ander verbinden, so sind zur Definition zwei 1-Punkt-Anschlüsse notwendig. Die Bindungs­gleichungen des Kugelgelenks würden die Anschlusspunkte <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.35mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-15.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.88mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-16.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> der Bauteile <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.82mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-17.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.35mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-18.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> stets zur Deckung bringen, so dass gilt:</para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="33.06mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-19.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject></para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="103.21mm" depth="61.26mm" fileref="dippArticle-20.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">9</phrase>: Kugelgelenk</para></caption></mediaobject></para><para role="text">Hinsichtlich der Verdrehung der Bauteile zueinander würde das Kugelgelenk keinerlei Ein­schränkungen bewirken.</para><para role="text">Bei der Anschlussdefinition ist jedoch noch ein weiterer, wesentlicher Gesichtspunkt zu be­achten. Wie bereits erwähnt, müssen nach der Strukturmontage, beim Übergang vom Starrkörper­modell zum FE-Modell, die Teilmodelle mechanisch verträglich miteinander verbunden werden. Die aus dem kinematischen Modell bekannten Bewegungsmöglichkeiten müssen auch auf die Finite-Elemente-Struktur übertragen werden, sodass die als reibungsfrei angenommenen Führun­gen und Lagerungen in ihren Freiheitsgraden keine Kräfte bzw. Momente übertragen.</para><para role="text">In einem Finite-Elemente-Modell wird ein solches Gelenk mit Hilfe von Koppelbedingungen zwischen den Freiheitsgraden der Elementknoten realisiert. Als Voraussetzung muss aber gelten, dass an den Verbindungsstellen der Teilmodelle Elementknoten vorhanden sind, die sich am selben Ort befinden. Wie bereits in [<link linkend="Döm95">Dömök95</link>] erläutert wird, erweist sich bei der Definition von Bauteilanschlüssen die Verwendung von Elementknoten als Anschlusspunkte (vgl. Abb. 10) als sehr sinnvoll.</para><para role="text" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="54.61mm" fileref="dippArticle-21.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">10</phrase>: Anschlussdefinition im FE-Modell</para></caption></mediaobject></para><para role="text" /><para role="text">In einem FE-Bauteilmodell wird ein Knoten durch seine Position im Bauteilkoordinatensystem eindeutig beschrieben. Verbindet man <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="4.23mm" fileref="dippArticle-22.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> Elementknoten zu einem Anschluss, so kann dies durch spezielle Markierungselemente (tracelines) im FE-Modell geschehen. Dadurch wird klar, dass bereits bei der Modellierung der kinematischen Struktur die Teilkörper als FE-Modelle hinterlegt werden müssen, da bei der Definition der Bindungselemente die Anschlussdefinitionen benötigt werden.</para></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">3.3.	</phrase><anchor id="_Ref81033722" />Bindungselemente</title><para role="text">Die Teilkörper einer kinematischen Kette können durch Gelenkverbindungen verschiedener Art miteinander verbunden werden. Dadurch werden Bewegungen in bestimmten Freiheitsgraden oder Relativbewegungen zwischen den einzelnen Gliedern zugelassen oder eingeschränkt. Die im Folgenden beschriebenen Bindungselemente gehören ausschließlich der Gruppe der holonomen Bindungen an. Somit hängen die Bindungsgleichungen lediglich von den Lagekoordinaten ab.<?d-linebreak?>Mathematisch können holonome Bindungen in fast beliebiger Ausartung beschrieben werden. In technischer Hinsicht erfüllen jedoch nur wenige Ausprägungen eine sinnvolle Funktion und sind mit den konventionellen Mitteln der Produktionstechnik herstellbar. Diese Restriktionen schränken die Anzahl theoretisch möglicher Bindungselemente stark ein. Aus den verbleibenden Möglichkeiten lässt sich eine Auswahl von Standardgelenken ableiten, die nach der Anzahl ihrer Freiheits­grade klassifiziert werden (class I joint, class II joint, …) können. In Tabelle 1 ist eine Auswahl von Standardgelenken dargestellt:</para><para role="text" /><para role="tabelle"><mediaobject><imageobject><imagedata width="159.92mm" depth="142.88mm" fileref="dippArticle-23.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Tabelle <phrase role="GEN_SEQ">1</phrase>: Übersicht Standardverbindungen</para></caption></mediaobject></para></section></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">4.	</phrase>Strukturmontage</title><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">4.1.	</phrase><anchor id="_Ref92609868" />Position und Orientierung der Teilmodelle</title><para role="text">Zur Beschreibung der Position und Orientierung eines Starrkörpers können Koordinatensysteme und Transformationsmatrizen benutzt werden.</para><para role="text">Zunächst wird gemäß Abbildung 11 ein kartesisches Koordinatensystem eingeführt, welches im Anschauungsraum als eine Basis für alle darin darzustellenden Vektoren dient. Dieses Referenzsystem wird gegenüber dem Anschauungsraum als ruhend angenommen und stellt somit ein inertiales Koordinatensystem dar, das in den weiteren Betrachtungen als Inertialsystem <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="29.09mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-24.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> bezeichnet wird.</para><para role="text">Jedem Teilkörper <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.56mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-25.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> des Systems wird ein kartesisches Koordinatensystem <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="29.09mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-26.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> zugewiesen, welches in einem Punkt <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.29mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-27.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> fest mit dem Körper verbunden ist. Somit kann die Position des Körpers <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.56mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-28.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> gegenüber dem Inertialsystem durch die Verschiebung von <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.29mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-29.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> bezüglich <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.82mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-30.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> angegeben werden. Diese Translation wird mit dem Verschiebungsvektor <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="38.35mm" depth="7.66mm" fileref="dippArticle-31.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>, gemessen in Koordinaten des Inertialsystems, ausgedrückt.</para><para /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="78.16mm" depth="42.18mm" fileref="dippArticle-32.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">11</phrase>: Position und Orientierung eines Starrkörpers</para></caption></mediaobject></para><para role="text" /><para role="text">Zur Beschreibung der Orientierung des Körpers <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.56mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-33.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>, gemeint ist die Verdrehung von <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.76mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-34.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> gegenüber <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="4.76mm" fileref="dippArticle-35.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>, werden die Euler-Parameter bzw. Quaternionen verwendet. Zur Beschreibung einer beliebigen Drehung werden in beiden Fällen vier Parameter benötigt. Im Unterschied zu den Euler-Parametern sind die Quaternionen normiert. Beide beschreiben eine beliebige Drehung im Raum durch eine geeignete normierte Drehachse <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="28.84mm" depth="7.66mm" fileref="dippArticle-36.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und durch einen Dreh-winkel <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.23mm" depth="4.76mm" fileref="dippArticle-37.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>.</para><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="37.84mm" depth="38.74mm" fileref="dippArticle-38.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">12</phrase>: Drehung durch Drehachse und Drehwinkel</para></caption></mediaobject></para><para role="text" /><para role="text">Abbildung 12 zeigt die Drehung eines Vektors <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="4.5mm" fileref="dippArticle-39.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> um die Achse <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="4.76mm" fileref="dippArticle-40.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> in die Endposition <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.5mm" depth="4.76mm" fileref="dippArticle-41.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>. Dabei zählt die Verdrehung um <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.23mm" depth="4.76mm" fileref="dippArticle-42.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> im Uhrzeigersinn positiv.</para><para role="text">Die Quaternionen <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="21.41mm" depth="6.6mm" fileref="dippArticle-43.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> sind wie folgt definiert:</para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="121.96mm" depth="31.21mm" fileref="dippArticle-44.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>    (<anchor id="f1" />1)</para><para role="text">Die Parameter <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.23mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-45.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>, <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.5mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-46.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.5mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-47.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> geben somit die Drehachse und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.5mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-48.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> den Drehwinkel an.</para><para role="text">Zusätzlich beschreibt folgender Zusammenhang die Abhängigkeit der Quaternionen untereinander. Dabei wird sichergestellt, dass die Drehung ohne Verzerrung erfolgt.</para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="38.1mm" depth="7.41mm" fileref="dippArticle-49.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f2" />2)</para><para role="text" /><para role="text">Mit Hilfe der Quaternionen lassen sich die Vektoren <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="4.5mm" fileref="dippArticle-50.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.5mm" depth="4.76mm" fileref="dippArticle-51.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> aus Abbildung 12 durch</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="21.17mm" depth="7.41mm" fileref="dippArticle-52.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject></para><para role="text" /><para role="text">mit der orthonormalen 3 x 3-Drehmatrix</para><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="89.43mm" depth="19.58mm" fileref="dippArticle-53.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f3" />3)</para><para role="text">ineinander überführen.</para><para role="text">Die Position und Orientierung eines Körpers <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.56mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-54.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> im Inertialsystem <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="4.76mm" fileref="dippArticle-55.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> kann somit durch den Vektor</para><para role="text"><anchor id="_Ref92607413" /><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="53.45mm" depth="7.66mm" fileref="dippArticle-56.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f4" /><anchor id="_Ref92607406" />4)</para><para role="text" /><para role="text">eindeutig festgelegt werden. Angemerkt sei an dieser Stelle, dass die sechs Freiheitsgrade eines Starrkörpers durch die sieben Komponenten von (<link linkend="f4">4</link>) beschrieben werden. Da die Quaternionen durch (<link linkend="f2">2</link>) in Beziehung zueinander stehen, bildet <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="46.04mm" depth="7.66mm" fileref="dippArticle-57.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> kein System aus Minimalkoordinaten.</para><para role="text" /></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">4.2.	</phrase><anchor id="_Ref82950280" /><anchor id="_Ref84321613" />Mathematischer Ansatz</title><para role="text">Im Folgenden wird ein Starrkörpersystem betrachtet, das aus <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="4.23mm" fileref="dippArticle-58.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> Körpern <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="21.41mm" depth="6.6mm" fileref="dippArticle-59.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> besteht. Die Position und Orientierung eines Teilkörpers <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.56mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-60.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> wird gemäß (<link linkend="f4">4</link>) durch die sieben Komponenten des Vektors <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="53.45mm" depth="7.66mm" fileref="dippArticle-61.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> beschrieben. Zur Angabe der geometrischen Anordnung des Gesamtsystems wird der Vektor</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="98.7mm" depth="7.66mm" fileref="dippArticle-62.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f5" />5),</para><para role="text" /><para role="text">zusammengesetzt aus den einzelnen Vektoren der Teilkörper, verwendet. Wie in Kapitel 4.1 erläutert wird, handelt es sich hierbei nicht um einen Satz von Minimalkoordinaten, da die Quaternionen <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="15.88mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-63.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> eines Körpers nicht unabhängig voneinander sind.</para><para role="text">Die Lage der Körper relativ zueinander wird durch ein System von <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.76mm" depth="4.23mm" fileref="dippArticle-64.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> holonomen, nichtlinearen Bindungsgleichungen <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="24.85mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-65.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> beschrieben. Sie stellen den Zusammenhang der Lageparameter <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="16.41mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-66.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> her. </para><para role="text">Man erhält ein nichtlineares Gleichungssystem der Form:<anchor id="_Ref85448181" /></para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="16.14mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-67.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f6" />6)</para><para role="text" /><para role="text">mit:</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="27.52mm" depth="32.81mm" fileref="dippArticle-68.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject></para><para role="text" /><para role="text">Zur eindeutigen Montage muss das System kinematisch bestimmt sein. Dadurch ergibt sich für den Freiheitsgrad <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.5mm" depth="5.82mm" fileref="dippArticle-69.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> des Systems die Forderung:</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="29.9mm" depth="5.8mm" fileref="dippArticle-70.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f7" />7)</para><para role="text" /><para role="text">Es sind folglich <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="15.88mm" depth="5.29mm" fileref="dippArticle-71.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> linear unabhängige Gleichungen in das Gleichungssystem (<link linkend="f6">6</link>) einzufügen.</para><para role="text">Dabei wird dem Umstand Rechnung getragen, dass zur Definition der sechs Freiheitsgrade eines Körpers bei Verwendung von Quaternionen sieben Parameter notwendig sind. In das Gleichungssystem sind zusätzlich zu den Bindungsgleichungen die Verträglichkeitsbedingungen (<link linkend="f2">2</link>) einzufügen.</para><para role="text">Das Bindungsgleichungssystem (<link linkend="f6">6</link>) ist, wie nichtlineare Gleichungssysteme im Allgemeinen, nur numerisch durch iterative Näherungsverfahren lösbar. Bekanntlich können nichtlineare Gleichungssysteme mehrere Nullstellen haben, wobei jede Lösung <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="4.76mm" fileref="dippArticle-72.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> einen Zustand (hier Stellung der kinematischen Struktur) darstellt, bei dem sämtliche Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Zu welcher Lösung das Näherungsverfahren strebt, hängt im Wesentlichen von den Anfangswerten zu Beginn der Iteration ab. Somit ist es bei der Montage einer kinematischen Struktur von Vorteil, wenn bereits die Ausgangslage der einzelnen Teilkörper näherungsweise der beabsichtigten Montagestellung des Systems entspricht.</para><para role="text" /></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">4.3.	</phrase>Formulierung der Bindungsgleichungen</title><para role="text">Im Folgenden wird exemplarisch gezeigt, wie die Bindungsgleichungen des Kugelgelenks aus Kapitel 3.2 (vgl. Abb. 9) mathematisch formuliert werden können. Eine ausführliche Beschreibung der in Tabelle 1 aufgeführten Standardverbindungen kann in [<link linkend="Web04">Webhofer04</link>] nachgelesen werden.</para><para role="text">Mit Hilfe einer „Punkt zu Punkt“-Bedingung werden gemäß Abbildung 13 die Körperpunkte <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.35mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-73.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.62mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-74.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> der Körper <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.56mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-75.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.35mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-76.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> im Raum zur Deckung gebracht.</para><para role="text" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="117.15mm" depth="61.65mm" fileref="dippArticle-77.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">13</phrase>: „Punkt zu Punkt“-Bedingung</para></caption></mediaobject></para><para role="text">Mathematisch wird dieser Zusammenhang durch die Gleichung</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="47.1mm" depth="7.41mm" fileref="dippArticle-78.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f8" />8)</para><para role="text" /><para role="text">beschrieben. Führt man nun ein, bezüglich des Anschauungsraumes ruhendes, inertiales Bezugssystem <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="26.99mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-79.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> ein (vgl. Kapitel 4.1), so schreibt man die Gleichung (<link linkend="f8">8</link>) in der Form:</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="47.63mm" depth="7.41mm" fileref="dippArticle-80.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f9" />9)</para><para role="text" /><para role="text">Wie bereits in Kapitel 3.2 beschrieben, werden die kinematischen Bindungen des Starrkörpermodells mit Hilfe von Anschlüssen definiert. Dabei werden die Anschlusspunkte <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.62mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-81.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> der Anschlüsse durch  deren Ortsvektoren <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="10.05mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-82.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> im körperfesten Koordinatensystem <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="4.76mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-83.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> angegeben. Es ist also zweckmäßig Gleichung (<link linkend="f9">9</link>) unter zu Hilfenahme der Transformationsvorschrift</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="23.8mm" depth="7.66mm" fileref="dippArticle-84.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f10" />10)</para><para role="text" /><para role="text">in die Form</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="69.31mm" depth="7.94mm" fileref="dippArticle-85.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f11" />11)</para><para role="text" /><para role="text">zu überführen. Dabei beschreibt <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="7.67mm" depth="7.67mm" fileref="dippArticle-86.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> die Verdrehung des Körpers <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.56mm" depth="6.62mm" fileref="dippArticle-87.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> im Inertialsystem <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="4.76mm" fileref="dippArticle-88.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>. Es gilt gemäß (<link linkend="f3">3</link>):</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="102.14mm" depth="20.64mm" fileref="dippArticle-89.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f12" />12)</para><para role="text" /><para role="text">Verwendet man zur Beschreibung der Position und Orientierung eines Körpers den Vektor (<link linkend="f4">4</link>), dann ergeben sich aus (<link linkend="f11">11</link>) mit der Vereinfachung</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="21.41mm" depth="20.64mm" fileref="dippArticle-90.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f13" />13)</para><para role="text" /><para role="text">die drei Komponentengleichungen <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="26.71mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-91.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> zu:</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="69.31mm" depth="7.41mm" fileref="dippArticle-92.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f14" />14)</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="70.38mm" depth="7.41mm" fileref="dippArticle-93.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f15" />15)</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="69.31mm" depth="7.41mm" fileref="dippArticle-94.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>	(<anchor id="f16" />16)</para><para role="text" /><para role="text">Die holonomen Bindungsgleichungen (<link linkend="f14">14</link>) bis (<link linkend="f16">16</link>) legen lediglich die Position der beiden Anschlusspunkte <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.35mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-95.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.88mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-96.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> zueinander fest. Die beiden Körper <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.82mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-97.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.35mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-98.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> können sich jedoch frei um den gemeinsamen Kopplungspunkt gegeneinander verdrehen, was sich anhand eines einfachen Beispiels anschaulich zeigen lässt. Würden beide Körper im Ursprung ihrer Basis <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.56mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-99.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="5.82mm" depth="6.35mm" fileref="dippArticle-100.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> miteinander verbunden, so würden <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="6.88mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-101.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> und <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="7.41mm" depth="6.88mm" fileref="dippArticle-102.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> zu <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="3.7mm" depth="5.82mm" fileref="dippArticle-103.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>. </para><para role="text">Die Bindungsgleichung (<link linkend="f11">11</link>) würde sich dann reduzieren zu:</para><para role="text" /><para role="text"><inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="27.52mm" depth="6.6mm" fileref="dippArticle-104.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject> mit <inlinemediaobject><imageobject><imagedata width="28.84mm" depth="7.41mm" fileref="dippArticle-105.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject></inlinemediaobject>		(<anchor id="f17" />17)</para><para role="text" /><para role="text">Die Quaternionen der beiden Körper, welche die Orientierung beschreiben, kommen in (<link linkend="f17">17</link>) nicht vor und unterliegen dadurch auch keinerlei Einschränkungen. Eine „Punkt zu Punkt“-Bedin­gung schränkt mit ihren drei Bindungsgleichungen drei Freiheitsgrade des Systems ein.</para></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">4.4.	</phrase>Montage des Gesamtsystems</title><para role="text">Bei der hier vorgestellten Methode zur Abbildung von Finite-Elemente-Modellen als kinema­tische Strukturen können reale Systeme nach dem Baukastenprinzip aufgebaut werden. Das Gesamtsystem wird in Baugruppen und Bauteile (Substrukturen) zerlegt. Im Unterschied zu dem in [<link linkend="Löw93">Löw93</link>] vorgestellten Konzept kann jede Baugruppe ihrerseits weitere Baugruppen und Bauteile enthalten. Als Ergebnis entsteht eine beliebig tief geschachtelte, hierarchisch gegliederte Struktur, die baumartig durchlaufen und bearbeitet werden kann.</para><para role="text">Wie in [<link linkend="Web04">Webhofer04</link>] gezeigt wird, trägt der Aufbau des Gesamtsystems als Baumstruktur nicht nur zur Übersichtlichkeit des Modells bei, sondern reduziert in erheblichem Maße den Rechen­aufwand bei der Montage. Abbildung 14 zeigt beispielhaft den hierarchischen Aufbau eines Gitter­mast-Fahrzeugkrans in „Hauptausleger mit Superlift“-Konfiguration, dessen Strukturbaum aus den Ebenen I, II, III und IV besteht.</para><para role="text">In der ersten Ebene befindet sich lediglich der Wurzelknoten des Baumes, ein Platzhalter für das Gesamtmodell. Die zweite Ebene setzt sich zum Beispiel aus verschiedenen Bauteilen (Unter­wagen, Oberwagen, Abspannbock etc.) und zwei Baugruppen (Superliftmast und Hauptausleger) zusammen. Die Baugruppe „Hauptausleger“ besteht ihrerseits aus fünf Bauteilen (Fußstück, Zwischenstück 6m, Zwischenstück 12m, etc.) und einer weiteren Baugruppe „Kopf“.</para><para role="text" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="107.64mm" fileref="dippArticle-106.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">14</phrase>: Hierarchischer Aufbau eines Gittermast-Fahrzeugkrans</para></caption></mediaobject></para><para role="text">Mit Hilfe des hier beschriebenen mathematischen Verfahrens lässt sich ein Starrkörpersystem, bestehend aus beliebig vielen Teilkörpern, entsprechend den kinematischen Bindungen montieren. Die Bindungsgleichungen werden dabei in Koordinaten eines inertialen Bezugssystems formuliert. Jede Baugruppe und der Wurzelknoten besitzen ein solches Bezugssystem, so dass jede Baugruppe für sich autonom montiert werden kann.</para><para role="text" /><para role="text">Dafür müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:</para><para role="text" /><itemizedlist mark="disc" spacing="normal"><listitem><para role="text">Zur Definition der Bindungselemente innerhalb einer Baugruppe können nur An­schlüsse von Bauteilen verwendet werden, die selbst Unterknoten der Baugruppe sind. Dies gilt auch für den Wurzelknoten.</para></listitem><listitem><para role="text">Die Substrukturen der Baugruppe müssen durch die Bindungen zu einem schlüssigen, kinematisch bestimmten System vereint werden, so dass Gleichung (<link linkend="f7">7</link>) erfüllt ist.</para></listitem><listitem><para role="text">Hat die zu montierende Baugruppe weitere Baugruppen als Kindknoten, so müssen diese bereits erfolgreich vormontiert worden sein, bevor diese selbst montiert werden kann. Damit wird sichergestellt, dass sich die Lage und Orientierung der zur Montage verwendeten Bauteilanschlüsse innerhalb des Kindknotens nicht mehr ändern und somit gültig sind.</para></listitem></itemizedlist><para role="text" /><para role="text">Zur Montage des Gesamtsystems wird die Baumstruktur Ebene für Ebene durchlaufen (vgl. Abb. 15). Ausgehend von der niedersten Ebene, im Beispiel aus Abbildung 14 entspricht dies der Ebene IV, wird jede Baumebene nach Baugruppenknoten durchsucht. Trifft man auf eine Bau­gruppe, so wird diese zusammengebaut. Erst wenn alle Baugruppen einer Ebene erfolgreich vormontiert werden konnten, kann der Montagealgorithmus versuchen, die nächst höher liegende Ebene zu montieren.</para><para role="text">Da eine Baugruppe bei der Vormontage zwar in sich montiert werden kann, jedoch aufgrund der fehlenden Bindungen mit den Baugruppen der nächst höher liegenden Ebenen sich als Ganze im Raum frei bewegen kann, wird ein Bauteil der Baugruppe durch eine automatisch generierte Bindung im Raum festgehalten. Nach erfolgreicher Vormontage wird diese Bindung wieder entfernt.</para><para role="text" /><para role="Abbildung"><mediaobject><imageobject><imagedata width="158.76mm" depth="140.03mm" fileref="dippArticle-107.png" format="PNG" srccredit="embed" /></imageobject><caption><para role="caption">Abbildung <phrase role="GEN_SEQ">15</phrase>: Procedere bei der Montage des Gesamtsystems</para></caption></mediaobject><anchor id="_Ref92619544" /></para><para role="text">Diese schrittweise, baugruppenorientierte Montage des Gesamtsystems erweist sich auch bei fehlerhaft definierten Systemen als sehr sinnvoll, da eine unzureichend kinematisch bestimmte Baugruppe sofort identifiziert und lokalisiert werden kann. </para><para role="text" /></section></section><section><title><phrase role="GEN_upcast-HEADINGNUMBER">5.	</phrase>Zusammenfassung</title><para role="text">Mit Hilfe der Abbildung von Finite-Elemente-Modellen als kinematische Struktur ist eine effiziente FE-Berechnung von Systemen, die ihre räumliche Ausprägung je nach Betriebszustand ändern, möglich. Dabei wird das Gesamtmodell aus einer Reihe einzelner FE-Teilmodelle aufgebaut, die durch Gelenke miteinander verbunden sind. Diese Gelenkverbindungen lassen sich in Form kinematischer Bindungen mathematisch formulieren und schränken somit die Bewegungs­möglichkeit der einzelnen Glieder zueinander ein.</para><para role="text">Das Gesamtmodell wird demzufolge durch eine kinematische Kette beschrieben, in der sich die räumliche Anordnung der FE-Teilmodelle zueinander, eingeschränkt durch einen Satz von kine­matischen Bindungen, in Position und Orientierung verändern kann. Die unterschiedlichen Stellungen des Systems können durch das Verändern weniger Parameter sehr einfach und zuverlässig erzeugt werden. Diese Eigenschaft ist für die Automatisierung der Berechnung derartiger Systeme von außerordentlicher Bedeutung und weist gegenüber herkömmlichen Methoden folgende Vorteile auf:</para><para role="text" /><itemizedlist mark="disc" spacing="normal"><listitem><para role="text">einfache Erzeugung von Stellungsvarianten durch Verändern weniger Parameter anhand eines einzigen Modells</para></listitem><listitem><para role="text">beliebige, sowohl offene als auch geschlossene kinematische Ketten modellierbar</para></listitem><listitem><para role="text">übersichtlicher und transparenter Modellaufbau durch eine Baumstruktur</para></listitem><listitem><para role="text">beliebig tief geschachtelter hierarchischer Aufbau der Modelle</para></listitem><listitem><para role="text">schrittweise, baugruppenorientierte Montage des Gesamtsystems zum einfachen Auf­finden fehlerhaft definierter Teilsysteme (Baugruppen)</para></listitem><listitem><para role="text">Reduzierung des Rechenaufwandes bei der schrittweisen, baugruppenorientierten Montage des Gesamtsystems</para></listitem><listitem><para role="text">Aufwandsreduzierung bei der Modellbildung durch das Baukastensystem durch Wiederverwendung gleicher Bauteile</para></listitem><listitem><para role="text">große Veränderung der Gelenkparameter durch schrittweise Berechnung der Endstellung</para></listitem><listitem><para role="text">automatisierbare Montage für Serienberechnungen</para></listitem><listitem><para role="text">wirklichkeitsnahe Abbildung der Bewegungsmöglichkeiten von Gelenken der realen Maschine im Finite-Elemente-Modell</para></listitem></itemizedlist><para role="text" /><para role="text" /><para role="text" /><para role="heading">Literatur</para><informaltable frame="none"><tgroup cols="2"><colspec colname="col1" colwidth="120.4pt" colnum="1" /><colspec colname="col2" colwidth="349.1pt" colnum="2" /><tbody><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Döm95" />Dömök95]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Dömök, Stefan: Automatisierte und datenbankgestützte Berechnung von Gittermastkranen. Dissertation, Technische Universität München, 1995</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Gar94" />Garcia94]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">García de Jalón, Javier, u.a.: Kinematic and dynamic simulation of multibody systems: the real-time challenge. Springer-Verlag, 1994</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Gün04" />Günthner04]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Günthner, Willibald A. u. a.: Ein flexibles Programmsystem zur Berechnung Finiter-Elemente-Modelle als kinematische Struktur. In: Fördern und Heben (2004) 6, S. 344-345</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Löw93" />Löw93]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Löw, Hans R. E.: Automatisierung der Berechnung und Konstruktion des Stahlbaus von Fahrzeugkranen auf der Basis von FE- und CAD-Methoden. Dissertation, Technische Universität München, 1993</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Schr00" />Schröder00]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Schröder, Frank: Ein datenbankbasiertes Anwendersystem zur Berechnung von Gittermast-Fahrzeugkranen. Dissertation, Technische Universität München, 2000</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Sha94" />Shabana94]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Shabana, Ahmed A.: Computational dynamics. John Wiley &amp; Sons, 1994</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Sha98" />Shabana98]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Shabana, Ahmed A.: Dynamics of multibody systems. Cambridge University Press, 1998</para></entry></row><row><entry colname="col1" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litID">[<anchor id="Web04" />Webhofer04]</para></entry><entry colname="col2" valign="top" rowsep="0" colsep="0" align="left"><para role="litText">Webhofer, Martin: Abbildung von Finite-Elemente-Modellen als kinematische Strukturen. Dissertation, Technische Universität München, 2004</para></entry></row></tbody></tgroup></informaltable><para role="text" /></section></article>